لَا يتَجَزَّأ على قَوْلهم أَو يعْمل ذَلِك الْخط من عشرَة أَجزَاء وَكَذَلِكَ من ألف جُزْءا كَذَلِك أَو مِمَّا زَاد فَإِنَّهُ لَا يخْتَلف أحد فِي أَن الْخط الَّذِي هُوَ من ثَلَاثَة أَجزَاء فَإِنَّهُ يَنْقَسِم ثَلَاثًا فِي موضِعين وَأَن الَّذِي هُوَ أَرْبَعَة أَجزَاء فَإِنَّهُ يَنْقَسِم أَربَاعًا فِي ثَلَاثَة مَوَاضِع وَأَن الَّذِي من ألف جزؤ فَإِنَّهُ يَنْقَسِم أعشاراً وبنصفين وَإِذ لَا شكّ فِي هَذَا فبيقين لَا محيد عَنهُ يدْرِي كل ذِي حس سليم وَلَو أَنه عَالم أَو جَاهِل أَن مَا انقسم أَثلَاثًا فَإِنَّهُ يَنْقَسِم نِصْفَيْنِ مستويين وَمَا انقسم أَربَاعًا فَإِنَّهُ يَنْقَسِم أَثلَاثًا مستوية وَإِن مَا كَانَ من الخطوط فَلهُ أعشار وأخماس وَنصف وأثلاث وأسداس وأسباع مُتَسَاوِيَة فَإذْ لَا شكّ فِي هَذَا فَإِن الْقِسْمَة لَا بُد أَن تقع فِي نصف جزءٍ مِنْهَا أَو فِي أقل من نصفه فصح أَن كل جسم فَهُوَ يتَجَزَّأ ضَرُورَة وَإِن الْجُزْء الَّذِي لَا يتَجَزَّأ بَاطِل مَعْدُوم من الْعَالم وَهَذَا مَا لَا مَحْض لَهُم مِنْهُ وَبِاللَّهِ تَعَالَى التَّوْفِيق

برهَان آخر

قَالَ أَبُو مُحَمَّد بِلَا شكّ نعلم أَن الخطين المستقيمين المتوازيين لَا يَلْتَقِيَانِ أبدا وَلَو مدا عمر الْعَالم أبدا بِلَا نِهَايَة وَأَنَّك إِن مددت من الْخط الْأَعْلَى إِلَى الْخط الْمُقَابل لَهُ خطين مستقيمين متوازيين قَالَ مِنْهُمَا مربع بِلَا الشَّك فَإذْ أخرجت من زَاوِيَة ذَلِك المربع خطا منحدراً من هُنَالك إِلَى الْخط الْأَسْفَل فَإِن تِلْكَ الخطوط المخرجة من الضلع لَدَى ذكرنَا وَتلك الخطوط المخرجة من الزاوية لَا تمر مَعَ الْخط الْأَعْلَى أبدا لِأَنَّهَا غير موازية لَهُ فَإذْ ذَلِك كَذَلِك فَذَلِك الضلع منقسم أبدا لَا بُد مَا أخرجت الخطوط بِلَا نِهَايَة

برهَان آخر

قَالَ أَبُو مُحَمَّد وبالضرورة نَدْرِي أَن كل مربع متساوي الأضلاع فَإِن الْخط الْقَاطِع من الزاوية الْعليا إِلَى الزاوية السُّفْلى الَّتِي لَا يوازيها يقوم مِنْهُ فِي المربع مثلثان متساويان وَأَنه لَا شكّ أطول من كل ضلع من أضلاع ذَلِك المربع على انْفِرَاد فنسألهم عَن مائَة جُزْء لَا تتجزأ رتبت متلاصقة عشرَة عشرَة فبالضرورة نجد فِيهَا مَا ذكرنَا فبيقين نعلم حِينَئِذٍ أَن كل جُزْء من الْأَجْزَاء الْمَذْكُورَة لَوْلَا أَن لَهُ طولا وعرضاً لما كَانَ الْخط الْمَار بهَا الْقَاطِع للمربع الْقَائِم مِنْهَا على مثلثين متساويين أطول من الْخط الْمَار بِكُل جِهَة من جِهَات ذَلِك المربع على اسْتِوَاء وموازاة لِلْخُطُوطِ الْأَرْبَعَة المحيطة بذلك المربع وَهُوَ أطول مِنْهُ بِلَا شكّ فصح ضَرُورَة أَن لكل جُزْء مِنْهَا طولا وعرضاً وَأَن مَاله طول وَعرض فَهُوَ متجزء بِلَا شكّ فصح أَيْضا بِمَا ذكرنَا أَن كل جزءٍ مر عَلَيْهِ الْخط الْمَذْكُور فقد انقسم برهَان آخر وَأَيْضًا فإننا لَو أَقَمْنَا خطا من أَجزَاء لَا تتجزأ على قَوْلهم مُسْتَقِيمًا ثمَّ أردناه حَتَّى يلتقي طرفاه وَيصير دَائِرَة فبالضرورة يدْرِي كل ذِي حس سليم أَن الْخط إِذا أدير حَتَّى يلتقي طرفاه فَإِن مَا قَابل من أَجْزَائِهِ مَرْكَز الدائرة أَضْعَف مِمَّا قَابل مِنْهَا خَارج الدائرة فَإذْ ذَلِك كَذَلِك فَهَذَا لَازم فِي هَذَا الْخط الْمدَار بِلَا شكّ وَإِذ لَا شكّ فِي هَذَا فقد فضل من أحد طرفِي الْجُزْء الَّذِي لَا يتَجَزَّأ عِنْدهم فضلَة على طرفه الآخر وَهَكَذَا كل جُزْء من تِلْكَ الْأَجْزَاء بِلَا شكّ فصح ضَرُورَة أَنه مُحْتَمل للانقسام وَلَا بُد وَبِاللَّهِ تَعَالَى التَّوْفِيق

برهَان آخر نسألهم عَن دَائِرَة قطرها أحد عشر جُزْءا لَا يتَجَزَّأ كل وَاحِد مِنْهَا عِنْدهم أَو أَي عدد شِئْت على الْحساب فأردنا أَن نقسمها بنصفين على السوَاء وَلَا خلاف فِي أَن هَذَا مُمكن فبالضرورة نَدْرِي أَن الْخط الْقَاطِع على قطر الدائرة من الْمُحِيط إِلَى مَا قابله من الْمُحِيط ماراً على مركزها لَا يَقع الْبَتَّةَ فِي أَنْصَاف تِلْكَ الْأَجْزَاء فصح ضررة أَنَّهَا تتجزأ وَلَو لم يمر ذَلِك الْخط على أَنَّهَا فِيهَا قسم الدائرة بنصفين وَبِاللَّهِ تَعَالَى التَّوْفِيق

برهَان آخر وَهُوَ أَن نسألهم عَن الْجُزْء الَّذِي لَا يتَجَزَّأ الَّذِي يحققونه إِذا وضع على سطح زجاجة ملساء مستوية هَل لَهُ حجم زَائِد على سطحها أم لَا حجم لَهُ زَائِد على سطحها فَإِن قَالُوا لَا حجم لَهُ زَائِد على سطحها أعدموه وَلم يجْعَلُوا لَهُ مَكَانا